I sposób
Problem jest równoważny z obliczaniem liczby rozwiązań równania
x_1+x_2+ .....+x_{19}+x_k=n dla x\in N^+=> x\geq 1
{x_1+x_2+ .....+x_{14}+x_{15}=3 \\ <=> \\ x_1+x_2+ .... x_{15}=2} .
C_n^k={n+k-1\choose k-1} Wzór na liczbę kombinacji z powtórzeniami
n=2
k=15
C_2^{15}={2+15-1\choose 15-1}={16\choose 2}=\frac{16!}{(16-2)!\cdot 2!}=\frac{14!\cdot 15\cdot 16}{14!\cdot 1\cdot 2}=120
II sposób
Suma cyfr = 3
1)
Cyfra 3 na początku
30000 ....... 1 liczba
2)
2+1+ zera
2|100000 ........
Cyfra 2 na początku, na pozostałych miejscach cyfra 1 i zera.
Dla cyfry 1 - 14 możliwości wyboru miejsca
3)
1+2
1|000020.......
Jedynka na początku, cyfra 2 - 14 możliwości wyboru miejsca
4)
1+1+1+ 000
1|100100 …
Jedynka na początku, 2 jedynki można ustawić na pozostałych miejscach na
C_{14}^2={14\choose 2}=\frac{14!}{12!\cdot 2!}=\frac{12!\cdot 13\cdot 14}{12!\cdot 1\cdot 2}=91
Rozwiazanie:
1+14+14+\frac{14!}{2!}=29+\frac{13\cdot 14}{2}=29+91=120
III sposób
Liczbę 15-cyfrową możemy zapisać przy pomocy symboli (kresek i kropek).
Przykładowa 15-cyfrowa liczba
| \cdot | \ | \ | \ | \ | \ | \ |\ | \ | \ | \ | \ | \ |\cdot | \ ||
|1|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|2|0|
Każdą naszą szukaną liczbę można zapisać przy pomocy 16 kresek i 3 kropek.
16+3=19 symboli.
Od tych 19 symboli odejmujemy 2 skrajne kreski (pierwszą i ostatnią) i jedna (pierwszą) kropkę, gdyż pierwsza cyfra nie może być zerem.
Pozostałe
29-2-1=26 symboli możemy ustawiać w dowolny sposób, a możliwości ustawień jest tyle ile naszych szukanych liczb.
Wystarczy wybrać miejsca dla 7 kropek. (Pierwszej kropki nie ruszamy).
Możemy to zrobić na
{16\choose 2}=\frac{16!}{(16-2)!\cdot 2!}=\frac{14!\cdot 15\cdot 16}{1\cdot 2}=120 sposobów.
Odpowiedź:
15-cyfrowych liczb, które spełniają warunki zadania jest 120.