I sposób
x_1+x_2+ .....+x_9+x_k=n
x_1+x_2+ ..... +x_9+x_{10}=6 , x\in N
3 możliwości
1)
x_1=x_{10}=1
to
1+x_1+x_2+ ...... +x_8+x_9+1=6
stąd
x_2+x_3+ ...... x_8+x_9=4
Ze wzoru na liczbę kombinacji z powtórzeniami {n+k-1 \choose k-1}
n=4
k=8
{4+8-1\choose 8-1}={11\choose 7}=\frac{11!}{4!\cdot 7!}=\frac{7!\cdot \not8^2\cdot \not9^3\cdot \not10^5 \cdot 11}{7!\cdot 1 \cdot \not2^1\cdot \not3^1\cdot \not4^1}=30\cdot 11=330
2)
x_1=x_{10}=2
2+x_2+x_3+ .... +x_8 + x_9 + 2=6
x_2+x_3+ .... + x_9 =2
n=2
k=8
{2+8-1\choose 8-1}={9\choose 7}=\frac{9!}{2!\cdot 7!}=\frac{7!\cdot 8\cdot 9}{1\cdot 2\cdot 7!}=36
-
x_1=x_{10}=3
3000000003
330+36+1=367
II sposób
3 możliwości jak wyżej
1)
6 - (1 + 1) = 4
11110000
21100000
22000000
31000000
4000000
permutacje z powtórzeniami
{8\choose 4}+\frac{8!}{2!\cdot 5!}+\frac{8!}{2!\cdot 6!}+\frac{8!}{6!}+\frac{8!}{7!}=
{=\frac{4!\cdot 5\cdot \not6^1\cdot 7\cdot \not8^2}{4!\cdot \not2^1\cdot \not3^1\cdot \not4^1}+\frac{5!\cdot \not6^3\cdot 7\cdot 8}{\not2^1\cdot 5!}+\frac{6!\cdot 7\cdot \not8^4}{\not2^1\cdot 6!}+\frac{6!\cdot 7\cdot 8}{6!}+\frac{7!\cdot 8}{7!}=70+168+28+56+8=330}
-
6 - (2 + 2) = 2
x_2+ .....+x_9=2
20000000
11000000
\frac{8!}{7!}+\frac{8!}{2!\cdot 6!}=8+\frac{6!\cdot 7\cdot \not8^4}{\not2^2\cdot 6!}=8+28=36
3)
6 - (3 + 3) = 0
30000003 - 1 liczba
330+36+1=367 liczb
Odpowiedź:
10-cyfrowych liczb spełniających warunki zadania jest 367.