Wzór na prawdopopodobieństwo warunkowe
P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
Oznaczenia
\Omega - trzykrotny rzut kostką
A - "otrzymaliśmy co najmniej jedną “piątkę”
B - “otrzymaliśmy co najmniej jedną jedynkę”
B' - “na żadnej kostce nie otrzymaliśmy jedynki” - zdarzenie przeciwne do B
A\cap B - "otrzymaliśmy co najmniej jedną “piątkę”, pod warunkiem, że otrzymamy co najmniej jedną “jedynkę”
Zdarzenia elementarne
|\Omega|=6\cdot 6\cdot 6=6^3=216 możliwych wyników
|B'|=5\cdot 5\cdot 5=125 , (na każdej kostce są wypadły oczka spośród {2,3,4,5,6})
P(B)=1-P(B')=1-\frac{|B'}{|\Omega|}=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}
------------
A\cap B
3 możliwości
- wylosowano 2 jedynki i 1 piątkę - na 3 sposoby \{(1,1,5), (1,5,1), (1,1,5)\}
- wylosowano 1 jedynkę i 2 piątki - na 3 sposoby \{(5,5,1), (5,1,5), (1,5,5)\}
- wylosowano 1 jedynkę, 1 piątkę i jedną liczbę różną od 1 i 5 {2,3,4,6} na
3\cdot 2 \cdot 4 = 24 sposoby
{(1,2,5), (1,5,2), (1,3,5}, (1,5,3), (1,4,5), (1,5,4), (1,5,6), (1,6,5),
(5,1,2), (5,2,1), (5,1,3), (5,3,1), (5,1,4), (5,4,1), (5,1,6), (5,6,1),
(2,1,5), (2,5,1), (3,1,5), (3,5,1), (4,1,5), (4,5,1), (6,1,5), (6,5,1)}
|A\cap B|=3+3+24=30
P(A\cap B)=\frac{|A\cap B|}{|\Omega|}=\frac{30}{216}
P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}
Podstawiam dane do wzoru
P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{30}{216}}{\frac{91}{216}}=\frac{30}{\not216^1}\cdot \frac{\not216^1}{91}=\frac{30}{91}
Odpowiedź:
Szukane prawdopodobieństwo równa się 30/91.