Zadanie 4
Rysunek
R=\frac{1}{2}c promień okręgu opisanego równa się połowie przeciwprostokątnej (c).
Promień okręgu wpisanego
r=\frac{a+b-c}{2}
Na rysunku poprowadź promienie do boków trójkąta. Otrzymasz 3 czworokąty: przy kącie prostym kwadrat o bokach r,r,r,r i 2 deltoidy o bokach a-r, a-r,r,r , b-r,b-r,r,r.
Zachodzi równość
c=a-r+b-r
r+r=a+b-c
2r=a+b-3
r=\frac{a+b-c}{2} wyprowadzony wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
R=\sqrt{109} promień okręgu opisanego - połowa długości przeciwprostokątnej
c=2\cdot R=2\cdot \sqrt{109}=2\sqrt{109} przeciwprostokątna
\left \{ {{P=12\sqrt3} \atop {a^2+b^2=c^2}} \right. złożenie a>0, b>0
Rozwiązanie układu równań
\left \{ {{\frac{ab}{2}=12\sqrt3 \ |*2} \atop {a^2+b^2=(2\sqrt{109})^2}} \right.
\left \{ {{ab=24\sqrt3 \ |:a} \atop {a^2+b^2=c^2}} \right.
\left \{ {{b=\frac{12\sqrt3}{a}} \atop {a^2+(\frac{12\sqrt3}{2})^2=4\cdot 109}} \right.
a^2+\frac{1728}{a^2}-436=0 \ |*a^2
a^4-436a^2+1728=0
((a^2)^2-2\cdot 218+218^2)-218^2+1738=0
(a^2-218)^2-47524+1728=0
(a^2-218)^2-45796=0
(a^2-218)^2=-45796
\sqrt{(a^2-218)^2}=-\sqrt{214^2}
|a^2-218|=-214
a^2-218=-214\vee -(a^2-218)=-214 \ |*(-1)
a^2=4\vee a^2-218=214 \ |+218
a=\sqrt{4}\vee a^2=\sqrt{432}=\sqrt{144\cdot 3}
a=2\vee a=12\sqrt3
b=\frac{24\sqrt3}{a}
b=\frac{24\sqrt3}{2} \vee b=\frac{24\sqrt3}{12\sqrt3}
b=12\sqrt3\vee b=2
\left \{ {{a=2} \atop {b=12\sqrt{3}}} \right.
lub
\left \{ {{a=12\sqrt3} \atop {b=2}} \right.
Jedna przyprostokątna = 2 , druga = 12\sqrt3
r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{2+12\sqrt3-2\sqrt{109}}{2}\approx0,95 [j] jednostek
Zadanie 16
W czworokącie wpisanym w okrąg suma kątów przeciwległych równa się 180^o.
\alpha+79^{\circ}=180^{\circ}
\alpha=180^{\circ}-79^{\circ}
\alpha=101^{\circ}