n - liczba losów wygrywających , założenie n\in N^+
{|\Omega|={n+8 \choose 2}=\frac{(n+8)!}{(n+8-2)!\cdot 2!}=\frac{(n+6)!\cdot (n+7)(n+8)}{(n-6)!\cdot 2}=\frac{(n+7)(n+8)}{2}=\frac{n^2+8n+7n+56}{2}=\frac{n^2+15n+56}{2}}
A - “co najmniej 1 los jest wygrywający”
{|A|={8 \choose 1}\cdot {n\choose 1}+{n\choose 2}=8n+\frac{n!}{(n-2)!\cdot 2!}=8n+\frac{(n-2)!\cdot (n-1)\cdot n}{(n-20!\cdot 2}=8n+\frac{n^2-n}{2}=\frac{16n+n^2-n}{2}=\frac{n^2+15n}{2}}
------------
{P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{\frac{n^2+15n}{2}}{\frac{n^2+15n+56}{2}}=\frac{n^2+15n}{2}\cdot \frac{2}{n^2+15n+56}=\frac{n^2+15}{n^2+15n+56}}
i
P(A)\leq \frac{17}{45}
to
\frac{n^2+15}{n^2+15n+56}\leq \frac{17}{45}
\frac{n^2+15}{n^2+15n+56}-\frac{17}{45}\leq 0
\frac{45(n^2+15)-17(n^2+15n+56)}{45(n^2+15n+56)}\leq 0 \ |*45
\frac{45n^2+675n-17n^2-225n-952}{(n^2+15n+56)}\leq 0
(28n^2+420n-952)(n^2+15n+56)\leq 0
28(n^2+15n-34)(n^2+15n+56)\leq 0 \ |:28
(n^2+15n-34)(n^2+15n+56)\leq 0
Wyznaczam miejsca zerowe
n^2+15n-34=0
\Delta=15^2-4\cdot1 \cdot (-34)=225+136=361
$\sqrt\Delta=19$$
n_1=\frac{-15-19}{2}=-17
n_2=\frac{-15+19}{2}=\frac{4}{2}=2
--------
n^2+15n+56=0 , 15n=8n+7n
n^2+7n+8n+56=0
n(n+7)+8(n+7)=0
(n+7)(n+8)=0
n=-7\vee n=-8
n=-17, \ n=-8, \ n=-7, \ n=2 miejsca zerowe
rysowanie "fali zaczynam nad osią, od lewej strony
n\in \langle -17;-8\rangle\cup \langle -7;2\rangle
n\in N^+ patrz założenie
n\in \{1,2\}
Odpowiedź:
W pudełku były 2 losy wygrywające lub 1.