-
Liczby o cyfrach z zerem
Wybrane liczby to 1,0 , 2,0 ; 3,0 ; 4,0 ; 5,0 ; 6,0 ; 7,0, 8,0, 9,0
I miejsce wybieramy na 9 sposobów - spośród {1,2,3,5,4,5,6,7,8,9}
Niech wybranymi liczbami będą 1,0.
Na pozostałych 6 miejscach liczę ilość liczb korzystając ze wzoru na wariacje z powtórzeniami 2^6 i odejmuję 1 liczbę - 1 111 111, żeby wszystkie cyfry nie były jednakowe.
W pozostałych przypadkach analogicznie.
W sumie odejmujemy tych liczb 9: 1111111, 2222222, 3333333, … 9999999.
Liczb o cyfrach z zerem jest
9(2^6-1).
-
Liczby o cyfrach bez zera
Wybieram 2 cyfry ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9} - 9 cyfr
{9\choose 2} - kombinacje bez powtórzeń
Wybrane cyfry umieszczamy na 7 miejscach na 2^7-2
Odejmuję 2 przypadki, w których wybrano 2 jednakowe liczby
Np. od liczb utworzonych z cyfr 1,2 musimy odjąć 1111111 i 2222222 - 2 liczby
W pozostałych przypadkach analogicznie.
Liczb o cyfrach bez zera jest
{9\choose 2}\cdot (2^7-2).
Rozwiązanie w jednym działaniu
{9(2^6-1)+{9\choose 2}\cdot (2^7-2)=9\cdot 63+\frac{9!}{7!\cdot 2!}\cdot 126=567+\frac{7!\cdot \not8^4\cdot 9}{7!\cdot \not2^1}\cdot 126=567+36\cdot 126=567+4536=5103}
Odpowiedź:
Siedmiocyfrowych liczb spełniających warunki zadania jest 5103.