a = H + 2cm
h_\Delta =\frac{a\sqrt3}{4} wysokość podstawy
Spodek wysokości H czworościanu leży w odległości 2/3h od wierzchołka podstawy.
\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{(H+4)\sqrt3}{3}
Z twierdzenia Pitagorasa
H^2+(\frac{2}{3}h)^2=a^2 założenia H>0
H^2+(\frac{(H+2)\sqrt3}{3})^2=(H+2)^2
\not H^2+\frac{(H^2+4H+4)\cdot \not3^1}{\not9^3}=\not H^2+4H+4
\frac{H^2+4H+4}{3}=4H+4 \ |*3 , założenie H>0
H^2+4H+4=12H+12
H^2-8H-8=0
a=1, b=-8, c=-8
\Delta=b^2-4ac=64-4\cdot 1 \cdot (-8)=96
\sqrt\Delta=\sqrt{96}=\sqrt{16\cdot 6}=4\sqrt6
H_1=\frac{8-4\sqrt6}{2}=4-2\sqrt6<0 odrzucamy
H_2=\frac{8+4\sqrt6}{2}=4+2\sqrt6
H=4+2\sqrt6 \ cm wysokość czworościanu
a = H + 2 = 4+2\sqrt6+2=6+2\sqrt6 \ cm krawędź czworościanu
Pole powierzchni czworościanu foremnego
{P_c=4P_\Delta=\not4\cdot \frac{a^2\sqrt3}{\not4}=a^2\sqrt3=(6+2\sqrt6)^2\cdot \sqrt3= (36+24\sqrt6+24)\sqrt3=24\sqrt{18}+60\sqrt{3}=}
{=24\sqrt{9*2}+60\sqrt3=24*3\sqrt2+60\sqrt3=72\sqrt2+60\sqrt3=12(6\sqrt2+5\sqrt3) \ cm^2}
Odpowiedź:
Pole powierzchni całkowitej czworościanu równa się 12(6\sqrt2+5\sqrt3) \ cm^2.