a = H + 4cm
h_\Delta =\frac{a\sqrt3}{4} wysokość podstawy
Spodek wysokości H czworościanu leży w odległości 2/3h od wierzchołka podstawy.
\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{(H+4)\sqrt3}{3}
Z twierdzenia Pitagorasa
H^2+(\frac{2}{3}h)^2=a^2
H^2+(\frac{(H+4)\sqrt3}{3})^2=(H+4)^2
\not H^2+\frac{(H^2+8H+16)\cdot \not3^1}{\not9^3}=\not H^2+8H+16
\frac{H^2+8H+16}{3}=8H+16 \ |*3 , założenie H>0
H^2+8H+16=24H+48
H^2-16H-32=0
a=1, b=-16, c=-32
\Delta=b^2-4ac=256-4\cdot 1 \cdot (-32)=384
\sqrt\Delta=\sqrt{384}=\sqrt{64\cdot 6}=8\sqrt6
H_1=\frac{16-8\sqrt6}{2}=8-4\sqrt6 <0 odrzucamy
H_2=\frac{16+8\sqrt6}{2}=8+4\sqrt6
H=8+4\sqrt6 \ cm wysokość czworościanu
a = H + 4 = 8+4\sqrt6+4=12+4\sqrt6 \ cm krawędź czworościanu
Pole powierzchni czworościanu foremnego
{P_c=4P_\Delta=4\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}=a^2\sqrt3=(12+4\sqrt6)^2\cdot \sqrt3=(144+96\sqrt6+96)\sqrt3=(240\sqrt3+96\sqrt{18}=}
{=240\sqrt3+96\cdot 3\sqrt2=240\sqrt3+48*2*3\sqrt2=48(5\sqrt3+6\sqrt2)\approx 822,99\approx823 \ cm^2}
Odpowiedź:
Pole powierzchni całkowitej czworościanu równa się 48(5\sqrt2+6\sqrt2) \ cm^2.