P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{{6\choose 4}\cdot 5^2}{{7\choose 5}\cdot 5^2}=
\frac{\frac{6!}{2!\cdot 4!}}{\frac{7!}{2!\cdot 5!}}=\frac{6!}{\not2!\cdot 4!}\cdot \frac{\not2!\cdot 5!}{7!}=\frac{6!}{4!}\cdot \frac{4!\cdot 5}{6!\cdot 7}=\frac{5}{7}
Zdarzenia
A- “w pierwszym rzucie otrzymano czwórkę”
B - “otrzymano 5 czwórek”
A\cap B - “w pierwszym rzucie wypadła czwórka i wśród otrzymanych wyników jest 5 czwórek”
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) - w pierwszym rzucie wypadła czwórka, pod warunkiem, że wśród otrzymanych wyników jest 5 czwórek"
P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{|A\cap B|}{|\Omega|}:\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{|A\cap B|}{|\Omega|}\cdot \frac{|\Omega|}{|B|}=\frac{|A\cap B|}{|B|}
|B|
Wybieramy 5 miejsc z 7 dla czwórek - na {7\choose 5} sposobów.
Następnie na pozostałych 2 miejscach ustawiamy “wyrzucone” 1,2,3,5,6 oczek - na 5^2 sposobów
|B|={7\choose 5}\cdot 5^2
|A\cap B|
4|4444XX
Na I miejscu czwórka - 1 możliwośc wyboru
Dla 4 czwórek wybieramy miejsca na {6\choose 4} sposobów.
Następnie na pozostałych 2 miejscach ustawiamy “wyrzucone” 1,2,3,5,6 oczek na 5^2 sposobów
|A\cap B|={6\choose 4}\cdot 5^2
{P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{{6\choose 4}\cdot 5^2}{{7\choose 5}\cdot 5^2}=\frac{\frac{6!}{2!\cdot 4!}}{\frac{7!}{2!\cdot 5!}}=\frac{6!}{\not2!\cdot 4!}\cdot \frac{\not2!\cdot 5!}{7!}=\frac{6!}{4!}\cdot \frac{4!\cdot 5}{6!\cdot 7}=\frac{5}{7}}
Odpowiedź:
Szukane prawdopodobieństwo równa się 5/7.