r=\frac{3}{10}
a_1+50r=a_{51}
a_1+50r=1
a_1=1-50r
-----------
a_{49}+2r=a_{51}
a_{49}+2r=1
a_{49}=1-2r
-----------
a_{50}+r=a_{51}
a_{50}+r=1
a_{50}=1-r
\frac{a_1\cdot a_{49}}{a_{50}}=\frac{(1-50r)(1-2r)}{1-r}=\frac{1-2r-50r+100r^2}{1-r}=\frac{100r^2-52r+1}{1-r} założenie r\ne 1
f(r)=\frac{100r^2-52r+1}{1-r} (1)
f'(r)=\frac{(100r^2-52r+1)'(1-r)-(100r^2+52r+1)(1-r)'}{(1-r)^2}=
=\frac{(200r-52)(1-r)-(100r^2-52r+1)\cdot (-1)}{(1-r)^2}=
=\frac{200r-200r^2-52+52r+100r^2-52r+1}{(1-r)^2}=
=\frac{-100r^2+200r-51}{(1-r)^2}
Ekstrema funkcji
f'(r)=0
f'(r)=\frac{-100r^2+200r-51}{(1-r)^2} , (1-r^2)\geq 0 dla dowolnej liczby \mathbb R
-100r^2+200r-51=0 , założenie r\in (0,1)
a=-100, b=200, c=-51
\Delta=200^2-4\cdot (-100)\cdot (-51)=40000-20400=19600
\sqrt\Delta=140
r_1=\frac{-200-140}{2\cdot (-100)}=\frac{-340}{-200}=\frac{17}{10}=1,7>1
nie spełnia warunków zadania
r_2=\frac{-200+140}{2\cdot (-100)}=\frac{-60}{-200}=\frac{3}{10}
r=\frac{3}{10}=0,3 różnica ciągu
------------
patrz (1)
\frac{a_1\cdot a_{49}}{a_{50}}=\frac{100r^2-52r+1}{1-r}=
{\frac{100\cdot 0,3^2-52+1}{(1-0,3)}=\frac{100\cdot 0,09-52\cdot 0,3+1}{0,7}=\frac{9-15,6+1}{0,7}=\frac{-5,6}{0,7}=-\frac{56}{7}=-8}
Odpowiedź:
Najmniejsza wartość wyrażenia równa sie -8.
Zastosowany wzór na pochodną
(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}