n - liczba kul czarnych
4 kule białe
P(A)=1/7
A - “wylosowano 2 kule czarne”
|\Omega|={n+4 \choose 2}
|A|={n\choose 2}
P(A)=\frac{1}{7}
{P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{{n\choose 2}}{{n+4 \choose 2}}=\frac{\frac{n!}{(n-2)!\cdot 2!}}{\frac{(n+4)!}{(n+4-2)!\cdot 2!}}=\frac{n!}{(n-2)!\cdot \not2}\cdot \frac{(n+2)!\cdot \not2}{(n+4)!}=}
{=\frac{(n-2)!\cdot (n-1)\cdot n}{(n-2)!}\cdot \frac{(n+2)!}{(n+2)!\cdot (n+3)(n+4)}=\frac{(n-1)n}{(n+3)(n+4)}}
\frac{(n-1)n}{(n+3)(n+4)}=\frac{1}{7}
7n(n-1)=(n+3)(n+4)
7n^2-7n=n^2+4n+3n+12
7n^2-7n-n^2-7n-12=0
6n^2-14n-12=0 \ |:2
3n^2-7n-6=0
a=3, b=-7, c=-6
\Delta=(-7)^2-4\cdot 3\cdot (-6)=121
\sqrt\Delta=11
n_1=\frac{7-11}{2\cdot 3}=\frac{-4}{6}<0 nie spełnia warunków zadania
n_2=\frac{7+11}{2\cdot 3}=\frac{18}{6}=3
n=3
Odpowiedź:
W urnie znajduje się 3 kule czarne.
Sprawdzenie
|\Omega|={3+4\choose 2}=\frac{5!\cdot \not6^3\cdot 7}{5!\cdot \not2^1}=21
|A|={3\choose 2}=3
P(A)=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}