Wszystkich liczb sześciocyfrowych jest
9\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 =9\cdot 10^5=900\ 000
Obliczam jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie występują co najwyżej 2 cyfry nieparzyste.
Liczby z jedną cyfrą nieparzystą:
2 przypadki
-
Pierwsza cyfra jest parzysta.
P X X X X X
Cyfrę P wybieramy na spośród {2,4,6,8} (bez zera) - na 4 sposoby
Następnie wybieramy miejsce dla cyfry nieparzystej - na 5 sposobów.
Cyfrę nieparzystą wybieramy spośród {1,3,5,7,9} - na 5 sposobów
Na pozostałych czterech miejscach ustawiamy cyfry parzyste spośród {0,2,4,6,8} - na 5^4 sposobów.
Takich liczb jest
4\cdot 5\cdot 5\cdot 5^4=4\cdot 5^6
-
Pierwsza cyfra jest nieparzysta.
N X X X X X
Cyfrę N wybieramy na spośród {1,3,5,7,9} - na 5 sposobów
Na pozostałych pięciu miejscach ustawiamy cyfry parzyste spośród {0,2,4,6,8} - na 5^5 sposobów.
Takich liczb jest
5\cdot 5^6=5^7
Liczby z dwiema cyframi nieparzystymi:
2 przypadki
-
Pierwsza cyfra jest parzysta.
P X X X X X
Cyfrę P wybieramy na spośród {2,4,6,8} (bez zera) na 4 sposoby.
Następnie wybieramy miejsce dla dwóch cyfr nieparzystych na {5\choose 2} sposobów.
Każdą z pozostałych (po P) pięciu cyfr możemy wybrać na 5 sposobów.
sposobów.
Takich liczb jest
4\cdot {5\choose 2}\cdot 5^5=4\cdot \frac{3!\cdot \not4^2\cdot 5}{3!\cdot \not2^1}\cdot 5^5=40\cdot 5^5=8\cdot 5\cdot 5^5=8\cdot 5^6
-
Pierwsza cyfra jest nieparzysta.
N X X X X X
Cyfrę N wybieramy na spośród {1,3,5,7,9} - na 5 sposobów.
Następnie wybieramy miejsce dla drugiej cyfry N na 5 sposobów.
Każdą z pozostałych (po N) pięciu cyfr możemy wybrać na 5 sposobów.
Takich liczb jest
5\cdot 5\cdot 5^5=5^7
Wszystkich cyfr jest
4\cdot 5^6+5^7+8\cdot 5^6+5^7=62500 + 78125+125000+78125=343750 liczb, w których są co najwyżej 2 cyfry nieparzyste.
Odejmuje te liczby od wszystkich liczb 6-cyfrowych.
900000 - 343750=556250
Odpowiedź:
Jest 556 250 liczb sześciocyfrowych, w których zapisie występują co najmniej 3 cyfry nieparzyste.