Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{|A\cap B|}{|\Omega|}}{\frac{|B|}{|\Omega|}}=\frac{|A\cap B|}{|\Omega|}\cdot \frac{|\Omega|}{|B|}=\frac{|A\cap B|}{|B|}
Cyfry wybieramy ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9} - 9 liczb
A - “otrzymano liczbę podzielną przez 4”
B - “otrzymano liczbę większą od 125”
A\cap B - “otrzymano liczbę podzielną przez 4 i większą od 125”
Obliczam |B|
1)
1 2 X
{126,127,128, 129} takie liczby są 4
1 X X
I cyfra - 1 możliwość wyboru
II cyfra spośród cyfr większych od 2 {3,4,5,6,7,8,9} na 7 sposobów
III cyfra na 7 sposobów (bez dwóch ustawionych na I i II miejscu)
Takich liczb jest
1\cdot 7\cdot 7 = 49
-
liczby większe od 200
I cyfra spośród {2,3,4,5,6,7,8,9} - na 8 sposobów
II - na 8 sposobów, bez ustawionej na I pozycji, ale już może być cyfra 1
III - na 7 sposobów
Takich liczb jest
8\cdot 8\cdot 7=448
|B|=4+49+448=501 liczb większych od 125
----------------
Obliczam |A\cap B|
Na pozycjach dziesiątek i jedności ustawiamy liczby
12, 16, 24,28,32,36,48,52,56,64,68,72,76,84,92,96 - na 16 sposobów
Na pierwsze miejsce (setek) wybieramy liczbę ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9} bez dwóch, które zajmują pozycję II i III na 7 sposobów.
|A\cap B|=7\cdot 16=112
P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{112}{501}
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo otrzymania liczby spełniającej warunki zadania równa się 112/501.
Liczby A\cap B
312, 412, 512, 612, 712, 812, 912
216, 316, 416, 516, 716, 816, 916,
324, 424, …
128, 328, …
132, …
136, …
148, …
152, …
156, …
164, …
168, …
172, …
176, …
184, …
192, …
196, 296, 396, 496, 596, 796, 896