Cyfry wybieramy ze zbioru {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
P - parzyste {0,2,4,6,8}
N - nieparzyste {1,3,5,7,9}
Rozważamy 2 przypadki ze względu na zero, które nie może być pierwszą cyfrą.
1)
P|NNNP
Pierwszą cyfrę wybieramy na 4 sposoby. Pozostały 4 wolne miejsca (dla NNNP).
Miejsca dla cyfr nieparzystych to kombinacje {4\choose 3}.
Na każdym z wybranych 3 miejsc ustawiamy cyfry nieparzyste na 5\cdot 5\cdot 5=5^3 sposobów.
Pozostało 1 miejsce wolne dla cyfry parzystej, którą możemy wybrać na 5 sposobów (już może być zero).
Takich liczb jest
4\cdot {4\choose 3}\cdot 5^3\cdot 5=4\cdot \frac{3!\cdot 4}{1!\cdot 3!}\cdot 5^4=4=4\cdot 4\cdot 625=10\ 000.
2)
N|NNPP
Pierwszą cyfrę wybieramy na 5 sposobów. Pozostały 4 wolne miejsca (dla (NNPP).
Miejsca dla cyfr nieparzystych to kombinacje {4\choose 2}. (1 nieparzysta już stoi na I miejscu)
Na każdym z wybranych 2 miejsc ustawiamy cyfry nieparzyste na 5\cdot 5=5^2 sposobów.
Pozostały 2 miejsce wolne dla cyfr parzystych, które możemy wybrać na 5\cdot 5=5^2 sposobów
5\cdot {4\choose 2}\cdot 5^2\cdot 5^2=5\cdot \frac{2!\cdot 3\cdot \not4^2}{2!\cdot \not2^1}\cdot 5^4=5\cdot 6\cdot 625=18\ 750
10\ 000 + 18\ 750 = 28 \ 750
Odpowiedź:
Jest 28 750 liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.