Zadanie 3
a)
b_n = 4 - \frac{1}{2}n , założenie n\in N_+
b_{n+1}=4-\frac{1}{2}(n+1)=\frac{8}{2}-\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}n
Różnica
{b_{n+1}-b_n=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}n-(4-\frac{1}{2}n)=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}n-\frac{8}{2}+\frac{1}{2}n=-\frac{1}{2}} różnica niezależna od n --ciąg jest arytmetyczny
Monotoniczność ciągu
b_{n+1}-b_n=-\frac{1}{2}<0 ciąg jest malejący
b)
b_n = \frac{n+3}{n} , założenie n\in N_+
b_{n+1}=\frac{n+1+3}{n+1}=\frac{n+4}{n+1}
Różnica
{b_{n+1}-b_n=\frac{n+4}{n+1}- \frac{n+3}{n}=\frac{n(n+4)-(n+3)(n+1)}{n(n+1)}=\frac{n^2+4n-(n^2+n+3n+3)}{n(n+1)}=}
=\frac{n^2+4n-n^2-4n-3}{n(n-1)}=-\frac{3}{n^2+n} różnica zależna od n
Ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.
Monotoniczność
-\frac{3}{n^2+n}<0
więc
b_{n+1}-b_n<0 ciąg malejący
Odpowiedź:
Ciąg nie jest arytmetyczny. Ciąg jest malejący.