Kule: 6b, 5c , 4z
6+5+4=15 kul
|\Omega|={15\choose 4}=\frac{15!}{11!\cdot 4!}=\frac{11!\cdot \not12^3\cdot 13\cdot \not14^7\cdot \not15^5}{11!\cdot \not4\cdot \not3\cdot \not2\cdot 1}=3\cdot 13\cdot 7\cdot 5=1365
a)
A - wylosowano kule w co najmniej dwóch kolorach
Zdarzenie przeciwne
A' - wylosowano kule w jednym kolorze
Wylosowano
|A'|=\{(b,b,b,b),(c,c,c,c),(z,z,z,z)\}=3 takie zdarzenia
A=|\Omega|-|A'|=81-3=79
P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{79}{1365}
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że wylosowano kule w co najmniej dwóch kolorach jest równe 79/1365.
b)
B - wylosowano dokładnie dwie kule białe
Wylosowano (2 kule z 6 kul białych) i (2 “nie białe” z 9)
5+4=9 kul
|B|={6\choose 2}\cdot {9\choose 2}=\frac{4!\cdot 5\cdot 6}{4!\cdot 2}\cdot \frac{7!\cdot 8\cdot 9}{7!\cdot 2}=15\cdot 36=540
P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{540}{1365}=\frac{36}{91}
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że wylosowano dokładnie dwie kule białe jest równe 36/91.
c)
C - “wylosowano mniej kul zielonych niż białych”
$|C|={4\choose 0}\cdot {6\choose 1}\cdot {5\choose 3}+{4\choose 0}\cdot {6\choose 2}\cdot {5\choose 2}+{4\choose 0}\cdot {6\choose 3}\cdot {5\choose 1}+$${6\choose 4}+{4\choose 1}\cdot {6\choose 2}\cdot {5\choose 1}+{4\choose 1}\cdot {6\choose 3}=$
$=1\cdot 6 \cdot \frac{3!\cdot 4\cdot 5}{3!\cdot 2}+1\cdot \frac{4!\cdot 5\cdot 6}{4!\cdot 2}\cdot \frac{3!\cdot 4\cdot 5}{3!\cdot 2}+$$1\cdot \frac{3!\cdot 4\cdot 5 \cdot 6}{3!\cdot 3\cdot 2}\cdot 5+\frac{4!\cdot 5\cdot 6}{2\cdot 4!}+$$4\cdot \frac{4!\cdot 5\cdot 6}{4!\cdot 2}\cdot 5+4\cdot \frac{3!\cdot 4\cdot 5\cdot6}{3!\cdot 3\cdot 2}=$
=6\cdot 10+15\cdot 10+20\cdot 5+15+4\cdot 15\cdot 5+4\cdot 20=705
P(C)=\frac{705}{1365}=\frac{47}{91}
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że wylosujemy mniej kul zielonych niż białych jest równe 47/91.