5 \cdot 4^{2x}+3 \cdot 5^{2x}\geq2\cdot20^x
5\cdot4^{2x}-3\cdot5^{2x}-2\cdot 4^x \cdot 5^x\geq 0 \ |:5^{2x}
5\cdot \frac{4^{2x}}{5^{2x}}-3 \cdot \frac{5^{2x}}{5^{2x}}-2\cdot {\frac{4^x\cdot 5^x}{5^{2x}}}\geq 0
5\cdot (\frac{4}{5})^{2x}-3\cdot 1 - 2 \cdot (\frac{4}{5})^x\geq 0
5\cdot [(\frac{4}{5})^x]^2-2\cdot (\frac{4}{5})^x-3 \geq 0
Wprowadzam zmienną zastępczą
t=(\frac{4}{5})^x założenie t>0
Rozwiązanie równania kwadratowego
5t^2-2t-3\geq 0 , -2t = -5t + 3t
a=5 > 0 ramiona paraboli skierowane w górę
5t^2-5t+3t-3\geq 0
5t(t-1)+3(t-1)\geq 0
(t-1)(5t+3)\geq 0
Wyznaczam miejsca zerowe:
f(x)=0
(t-1)(5t+3)=0
t-1=0 \ \Rightarrow \ t=1
lub
5t+3=0 \ \Rightarrow \ 5t=-3 \ \Rightarrow t=-\frac{3}{5}<0 Nie spełnia założenia
t_1=1 \ , \ t_2=-\frac{3}{5} miejsca zerowe
t\in \langle 1; +\infty)
(\frac{4}{5})^x\geq 1
(\frac{4}{5})^x \geq (\frac{4}{5})^0 Opuszczam podstawę \frac{4}{5}<0 i zmieniam znak nierówności
x\leq 0
x \in (-\infty;0) <== Odpowiedź