Zadanie 2
a)
W(x) = x^3 - 3x+2= |zastępuję -3x=-x-2x i dodaję do równania -x^2+x^2
=x^3-x^2+x^2-x-2x+2=
=x^2(x-1)+x(x-1)-2(x-1)=
=(x-1)(x^2-x-2)
x^2-x-2=0
a=1, b= -1, c= -2
\Delta=1-4*1*(-2)=9
\sqrt\Delta=3
x_1=\frac{1-3}{2}=-1
x_2=\frac{1+3}{2}=2
x^2-x-2=(x+1)(x-2)
--------
W(x)=(x-1)(x-2)(x+1)
b)
W(x)= x^3 - 7x+6=x^3-x^2+x^2-x-6x+6= |dodałam do równania -x^2+x^2 i zastąpiłam -7x=-x-6x
=x^2(x-1)+x(x-1)-6(x-1)=
=(x-1)(x^2+x-6)
obliczam pierwiastki równania kwadratowego
x^2+x-6=0
a=1, b=1, c= -6
\Delta=1-4*(-6)=25
delta większa od zera - równanie ma 2 pierwiastki
x_1=\frac{-1-5}{2}=-3
x_2=\frac{-1+5}{2}=2
x^2+x-6=(x-2)(x+3)
---------
W(x)=(x-1)(x-2)(x+3)
c)
W(x)= x^3 - 13x -12=
=x^3+x^2-x^2-x-12x-12=
=x^2(x+1)-x(x+1)-12(x+1)=
=(x+1)(x^2-x-12)
d)
W(x)= x^3+4x - 5=
=x^3-x^2+x^2-x+5x-5=
=x^2(x-1)+x(x-1)+5(x-1)=
=(x-1)(x^2+x+5)
II sposób
c)
W(x)= x^3 - 13x -12
W(-1)=-1+13+12=0 , liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu, stąd wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-1
(x^3-13x-12):(x+1)=x^2-x-12
rozwiązanie równania kwadratowego
x^2-x-12=0
a=1, b=-1, c= -12
\Delta=b^2-4ac=1-4*(-12)=49
\sqrt\Delta=7
x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{1-7}{2}=-3
x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{1+7}{2}=4
x^2+x+12=[(x-(-3)](x+3)=(x+3)(x-4)
----------
W(x)=(x-1)(x-4)(x+3)
d)
W(x)= x^3+4x - 5
szukam pierwiastka cakowitego wśród dzielników wyrazu (5): {1,-1,5,-5)
W(1)=1+4-5=0 wieloman jest podzielny przez dwumian x-a, czyli przez x-1.
x^3+4x-5):(x-1)=x^2+x+5
-x^3+x^2
-----------------------
…x^2+4x
…-x^2+x
-----------------------
…5x-5
…-5x+5
-----------------------
…R = 0
W(x)=(x-1)(x^2+x+5)
rozwiązanie równania kwadratowego ax^2+bx+c=0
x^2+x+5=0
a=1, b=1, c=5
\Delta=b^2-4ac=1-4*5<0
delta mniejsza od zera - w zbiorze liczb rzeczywistych brak pierwiastków