a_n=\frac{n}{n^2+6} własność ciągu arytmetycznego
a_1=\frac{1}{1^2+6}=\frac{1}{7}
a_2=\frac{2}{2^2+6}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}
a_3=\frac{3}{3^2+6}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}
\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=a_n
\frac{a_1+a_3}{2}=a_2
2a_2=a_1+a_3
\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=2\cdot \frac{1}{5} sprzeczność
To nie jest ciąg arytmetyczny.
---------------
Bardziej poprawny sposób to sprawdzenie czy różnica
a_{n+1}-a_n=const , jest stała, niezależna od n. (Jest to liczba r - różnica ciagu)
{\frac{n+1}{(n+1)^2+6}-\frac{n}{n^2+6}=\frac{n+1}{n^2+2n+1+6}-\frac{n}{n^2+6}=\frac{(n+1)(n^2+6)-n(n^2+2n+7}{(n^2+2n+7)(n^2+6)}=}
{=\frac{n^3+6n+n^2+6-n^3-2n^2-7n}{(n^2+2n+7)(n^2+6)}=\frac{-n^2-n+6}{(n^2+2n+7)(n^2+6)}=-\frac{n^2+n-6}{(n^2+2n+7)(n^2+6)}}
Różnica jest zależna od n. To nie jest ciąg arytmetyczny.