Zadanie 1
a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} własność ciągu arytmetycznego (wzór ogólny)
Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego równa się średniej arytmetycznej skrajnych wyrazów ciągu.
---------------------
b_n=-2n+3
b_1=-2*1+3=-2+3=1
b_2=-2*2+3=-4+3=-1
b_3=-2*3+3=-6+3=-3
podstawiam do wzoru a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
b_2=\frac{b_1+b_3}{2}
b_2=-1
-1=\frac{1+(-3)}{2}
-1=\frac{1-3}{2}
-1=-1
L = P
Odpowiedź: Ciąg b_n jest ciągiem arytmetycznym
monotoniczność ciągu
Dla tego ciagu spełniona jest nierówność
b_{n+1}<b_n
b_2<b_1 , b_3<b_2 ciąg malejący
Zadanie 2
a_2=5
a_{10}=21
a_2+8r=a_{10}
5+8r=21
8r=21-5
8r=16 |:8
r=2 różnica ciagu arytmetycznego
a_1=a_2-r=5-2=3 pierwszy wyraz ciągu
a_n=a_{12}=a_{10}+2r=21+2*2=25
S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
n=12
a_1=3
a_{12}=25
S_{12}=\frac{3+25}{2}*12=14*12=168 <-- odpowiedź
Zadanie 3
Czy ciąg (bn) jest ciągiem geometrycznym? Określ jego monotoniczność.
b_n=7*(\frac{1}{3})^n
b_1=7*(\frac{1}{3})^1=\frac{7}{3}
b_2=7*(\frac{1}{3})^2=7*\frac{1}{9}=\frac{7}{9}
b_3=7*(\frac{1}{3})^3=7*\frac{1}{27}=\frac{7}{27} --------(iloraz ciągu q=1/3)
{a_n}^2=a_{n-1}*a_{n+1} wzór ogólny- własność ciągu arytmetycznego
{b_2}^2=b_1*b_3
(\frac{7}{9})^2=\frac{7}{3}*\frac{7}{27}
\frac{49}{81}=\frac{49}{81}
L = P lewa strona = prawej
Odpowiedź: Jest to ciąg geometryczny