Schemat Bernoulliego
P_n(k)={n\choose k}\cdot p^k\cdot q^{n-k} wzór
k sukcesów w n próbach
1) Prawdopodobieństwo wygrania nie mniej niż trzech partii z czterech
n=4 próby
k=3 \ lub \ 4
p=\frac{1}{2}
q=1-p=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} prawdopodobieństwo porażki
3 sukcesy 1 porażka lub 4 sukcesy, 0 porażek
{P_1=P_4(3)+P_4(4)={4\choose 3}\cdot (\frac{1}{2})^3\cdot (\frac{1}{2})^1+{4\choose 4}\cdot (\frac{1}{2})^4\cdot (\frac{1}{2})^0=\frac{3!\cdot \not4^1}{1!\cdot 3!}\cdot \frac{1}{\not8^2}\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{16}\cdot 1=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{4+1}{16}=\frac{5}{16}}
2) Prawdopodobieństwo wygrania nie mniej niż pięciu partii z ośmiu
n=8 prób
k=5\ lub \ 6\ lub \ 7 \ lub \ 8 sukcesów
odpowiednio 3 lub 2 lub 1 lub 0 porażek
{P_2=P_8(5)+P_8(6)+P_8(7)+P_8(8)={8\choose 5}\cdot (\frac{1}{2})^5\cdot (\frac{1}{2})^3+{8\choose 6}\cdot (\frac{1}{2})^6\cdot (\frac{1}{2})^2+{8\choose 7}\cdot (\frac{1}{2})^7\cdot (\frac{1}{2})^1+{8\choose 8}\cdot (\frac{1}{2})^8\cdot (\frac{1}{2})^0=}
{=\frac{5!\cdot \not6\cdot 7\cdot \not8^1}{5!\cdot \not3\cdot \not2\cdot 1}\cdot \frac{1}{\not32^4}\cdot \frac{1}{8}+\frac{6!\cdot 7\cdot \not8^1}{6!\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{1}{\not64^8}\cdot \frac{1}{4}+\frac{7!\cdot \not8^1}{7!\cdot 1!}\cdot \frac{1}{\not128^{16}}\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{256}\cdot 1=}
=\frac{7}{32}+\frac{7}{64}+\frac{1}{32}+\frac{1}{256}=\frac{56+28+8+1}{256}=\frac{93}{256}
P_1=\frac{5}{16}=\frac{80}{256}
P_2=\frac{93}{256}
P_2>P_1
Odpowiedź:
Dla pierwszego gracza bardziej prawdopodobne jest wygranie nie mniej niż pięciu partii z ośmiu.