Zadanie 3
a)
y = ax + b równanie kierunkowe prostej
A=(1, 8)=(x,y) i B=(-1, 2)=(x,y) |punkty spełniają równanie prostej do której należą
rozwiązanie układu równań:
8=a*1+b
2=a*(-1)+b
---------
8=a+b
2=-a+b
dodaję stronami-rozwiązanie metodą przeciwnych współczynników:
8+2+a+(-a)+b+b
10=2b |:2
5=b
b = 5 wyraz wolny
8=a+b
8=a+5
a = 3 współczynnik kierunkowy
podstawiam a i b:
y = 3x + 5 równanie prostej przechodzącej przez punkt A i B.
b)
Współczynniki kiierunkowe prostych prostopadłych spełniają warunek:
a_1*a_2=-1, stąd:
a_2=-\frac{1}{a_1}
a_2 jest odwrotnością i przeciwieństwem a_1.
a_1=3
a_2=-\frac{1}{3} |podstawiam do równania:
y=ax+b
y=-\frac{1}{3}x+b |Do tej prostej należy punkt C(-3,2):
x = -3 , y = 2
2=-\frac{1}{3}*(-3)+b
2=1+b |-1 od obu stron równania:
1=b
b = 1 |podstawiam do naszego równania:
y=-\frac{1}{3}x+1 szukane równanie prostej
A(1, 8) i B(-1, 2)
c)
Oblicz długość odcinka AB,
A=(1, 8)=(x_1,y_1) i B=(-1, 2)=(x_2,y_2)
Wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
|AB|=\sqrt{(-1-1)^2+(2-8)^2}=\sqrt{(-2)^2+(-6)^2}=\sqrt{40}=\sqrt{4*10}=2\sqrt{10} <-- odpowiedź
d)
Znajdź współrzędne środka odcinka AB,
S(AB) = (\frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{1-1}{2} , \frac{8+2}{2})
S(AB)=(0,5) współrzędne środka odcinka
e)
Sprawdź, czy punkt D(4, 15) leży na prostej AB.
Jeśli punkt należy do prostej to spełnia jej równanie
y = 3x + 5
x = 4 , y = 15
15=3*4+5
15=17 sprzeczność
odpowiedź:
Punkt nie należy do prostej AB.