Znajomość pierwiastków x1, x2 funkcji kwadratowej pozwala wyznaczyć wierzchołek paraboli, gdyż znajduje się on dokładnie pomiędzy x_1 i x_2.
x_w=\frac{x_1+x_2}{2}
y_w=f(x_w) lub y_w=-\frac{\Delta}{4a}
Zadanie 2.52
a)
f(x)=ax^2+bx+c postać ogólna
x_1=-4
x_2=1
P=(-3,1)
Postać iloczynowa
f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a[x-(-4)] (x-1)=a(x+4)(x-1)
Punkt (-3,1) = (x,y) należy do wykresu funkcji, więc:
f(-3)=1
1=a(-3+4)(-3-1) \ \Rightarrow \ 1=-4a \ \Rightarrow \ a=-\frac{1}{4}
więc
f(x)=-\frac{1}{4}(x+4)(x-1)
Postać ogólna
f(x)=-\frac{1}{4}(x^2-x+4x-4)=-\frac{1}{4}(x^2+3x-4)
f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{4}x+1
Postać kanoniczna
f(x)=a(x-p)^2+q \ \Rightarrow \ -\frac{1}{4}(x-p)^2+q
W = (p,q)
p=x_w=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-4+1}{2}=-\frac{3}{2}
q=f(p)=-\frac{1}{4}\cdot (\frac{3}{2})^2-\frac{3}{4}\cdot (-\frac{3}{2})+1=-\frac{9}{16}+\frac{9}{8}+1=\frac{-9+18+16}{16}=\frac{25}{16}
f(x)=-\frac{1}{4}(x+\frac{3}{2})^2+\frac{25}{16}