Od sumy liczb podzielnych przez 2 lub przez 3 należy odjąć sumę liczb podzielnych przez 2 i przez 3.
Oznaczenia
A - liczby mniejsze od 900 i podzielne przez 2
B - liczb mniejsze od 900 i podzielne przez 3
A\cap B - liczby mniejsze od 900 i podzielne przez 2 i przez 3 (czyli podzielne przez 6)
A\cup B - liczby mniejsze od 900 i podzielne przez 2 lub przez 3
1)
Obliczam |A|
a_1=2
a_n=898
r=2
oblicz n
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
a_n=a_1+(n-1)r
898=2+(n-1)\cdot 2 \ |-2
896=(n-1)\cdot 2 \ |:2
448=n-1
448+1=n
n=449
oblicz n
|A|=449 liczb podzielnych przez 2
S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu
S_{1}=\frac{2+898}{2}\cdot449= 450\cdot 449 =202 \ 050 suma liczb podzielnych przez 2
2)
Obliczam |B|
b_1=3
b_n=897
r=3
obl. n
897=3+(n-1)\cdot 3 \ |-3
894=(n-1)\cdot 3\ |:3
298=n-1
298+1=n
n=299
|B|=299 liczb podzielnych przez 3
S_{2}=\frac{3+897}{2}\cdot299= 450\cdot299=134 \ 550 suma liczb podzielnych przez 3
3)
Obliczam |A\cap B|
c_1=6
c_n=894
r=6
obl. n
894=6+(n-1)\cdot 6 \ |-6
888=(n-1)\cdot 6 \ |:6
148=n-1
148+1=n
n=149
|A\cap B|=149 liczb podzielnych przez 2 i przez 3
S_3=\frac{6+888}{2}\cdot 149=\frac{894}{2}\cdo6 149=447\cdot 149=66 \ 603 suma liczb podzielnych przez 2 i przez 3
S=S_1+S_2-S_3=202 \ 050+134\ 550 - 66\ 603=269 \ 997
Odpowiedź:
Suma wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 900 i podzielnych przez 2 lub przez 3 równa się 269 997.