Kluczem do tego zadania jest wiedza, że:
(1) wysokości w trójkącie przecinają się w stosunku 2:1.
(2) Ponadto aby narysować okrąg wpisany w trójkącie należy wyznaczyć jego dwusieczne.
(3) I już chyba ostatnia informacja: dwusieczne w trójkącie równobocznym pokrywają się z wysokościami w tym trójkącie
A teraz przystąpimy do rozwiązania
[OD] = 6cm
Korzystamy z (1)
\frac{1}{3}[CD] = 6cm, czyli h=[CD] = 18cm.
Wzór na pole trójkąta w którym wpisany jest okrąg to:
(4) P=\frac{1}{2}ah.
h=[CD],
a możemy obliczyć znając wzór na wysokość trójkąta równobocznego:
h=\frac{a\sqrt{3}}{2}, czyli a=\frac{2h\sqrt{3}}{3}.
Zatem podstawiam do wzoru (4):
P=\frac{h^2\sqrt{3}}{3}, więc
P=\frac{18^2\sqrt{3}}{3}cm^2=108\sqrt{3}cm^2
Pozdrawiam