A = (1,4), B = (-3,-2) i C = (5,2)
y = ax + b
równanie prostej przechodzącej przez punkty B i C
układ równań
-2=-3a+b |*(-1)
2=5a+b
--------
2=3a-b
2=5a+b
--------
metoda przeciwnych współczynników
2+2=3a+5a-b+b
4=8a |:4
1=2a|:2
a=\frac{1}{2} współczynnik kierunkowy
podstawiam
2=5a+b
2=5*\frac{1}{2}+b
2=\frac{5}{2}+b
2-2\frac{1}{2}=b
-\frac{1}{2}=b
b=-\frac{1}{2}
a = 1/2 , b= -1/2
y = ax + b
y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} równanie kierunkowe prostej
zamieniam na równanie ogólne prostej
Ax + By + C = 0
y-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0
-\frac{1}{2}x+y+\frac{1}{2}=0 |*2
-x+2y+1=0
Obliczam odległość punktu A od prostej BC ze wzoru
A=(1,4)=(x_o,y_o)
d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
A=-1 , B=2, C=1
d=\frac{|-1*1+2*4+1|}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}=\frac{|-1+8+1|}{\sqrt5}=\frac{8}{\sqrt5}=
\frac{8}{\sqrt5}*\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{8\sqrt5}{5} wysokość trójkąta (h)
Z rysunku i twierdzenia Pitagorasa:
|BC|=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5 podstawa trójkąta (a)
Obliczam pole trójkąta
P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}*4\sqrt5*\frac{8\sqrt5}{5}=2*\frac{5*8}{5}=16[j^2] <-- odpowiedź
Długość odcinka BC można też obliczyć ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych.