P_b=2a^2
4P_t=2a^2 |:4
P_t=\frac{a^2}{2}
\frac{1}{2}ah=\frac{a^2}{2} |*2
ah=a^2|:a
h=a wysokość ściany bocznej
z twierdzenia Pitagorasa
H^2=h^2-(\frac{a}{2})^2
H^2=a^2-(\frac{a}{2})^2
H^2=a^2-\frac{a^2}{4}
H^2=\frac{4a^2}{4}-\frac{a^2}{4}
H=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}
H=\frac{a\sqrt3}{2} wysokość ostrosłupa (wzór na wysokość trójkąta równobocznego)
Przekrój ostrosłupa który zawiera wysokości przeciwległych ścian bocznych ostrosłupa jest trójkatem.
Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt równa się długości promienia kuli wpisanej w ostrosłup.
r=\frac{1}{3}H
r=\frac{1}{3}*\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{6} promień kuli wpisanej
b^2=(\frac{a}{2})^2+h^2
h=a
b^2=\frac{a^2}{4}+a^2=\frac{a^2}{4}+\frac{4a^2}{4}
b=\sqrt{\frac{5a^2}{4}}=\frac{a\sqrt5}{2} krawędź boczna ostrosłupa
P=\frac{1}{2}ah wzór ogólny na pole trójkąta
P=\frac{abc}{4R} II wzór na pole trójkąta
d – przekątna kwadratu (podstawy)
P=\frac{1}{2}*d*H=\frac{1}{2}*a\sqrt2*\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt6}{4}
\frac{a^2\sqrt6}{4}=\frac{a\sqrt2*bc}{4R} |*4
a^2\sqrt2*\sqrt3=\frac{a\sqrt2*b*b}{R} |:a
a\sqrt3=\frac{b^2}{R}
a\sqrt3=\frac{(\frac{a\sqrt5}{2})^2}{R}
a\sqrt3=\frac{5a^2}{4R} |:a
\sqrt3=\frac{5a}{4R}
4R\sqrt3=5a
R=\frac{5a}{4\sqrt3}
\frac{r}{R}=\frac{a\sqrt3}{6}:\frac{5a}{4\sqrt3}=\frac{a\sqrt3}{6}*\frac{4\sqrt3}{5a}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5} <–odpowiedź