Zadanie 7
P(A)=\frac{n_A}{N}
A – wśród skreślonych liczb są conajmniej 3 trafienia
6 liczb z 49 można wybrać na C^6_{49} sposobów:
N=C^6_{49}={49\choose6}=\frac{49!}{6!*(49-6)!}=\frac{43!*44*45*46*47*48*49}{1*2*3*4*5*6*43!}=\frac{44*45*46*47*48*49}{2*3*4*5*6}=13983816 to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych
----------
n_A=n_3+n_4+n_5+n_6 – liczba zdarzeń sprzyjających
----------
Wśród skreślonych liczb są 3 wylosowane i 3 niewylosowane:
n_3={6\choose3}*{43\choose3}=\frac{6!}{3!*3!}*\frac{43!}{3!*40!}=\frac{3!*4*5*6}{1*2*3*3!}*\frac{40!*41*42*43}{1*2*3*40!}=20*41*7*43=246820
---------
Wśród skreślonych liczb są 4 wylosowane i 2 niewylosowane:
n_4={6\choose4}*{43\choose2}=\frac{6!}{4!*2!}*\frac{43!}{2!*41!}=\frac{4!*5*6}{4!*1*2}*\frac{41!*42*43}{41!*1*2}=5*3*21*43=13545
---------
Wśród skreślonych liczb jest 5 wylosowanych. Szósta liczba (niewylosowana) jest jedną z pozostałych 43 liczb:
n_5={6\choose5}*43=\frac{6!}{5!(6-5)!}*43=\frac{6!}{5!*1}*43=\frac{5!*6}{5!}*43=6*43=258
---------
Wśród skreślonych liczb jest 6 wylosowanych:
n_6=1
------------------------
LICZBA ZDARZEŃ SPRZYJAJĄCYCH
n_A=n_3+n_4+n_5+n_6=246820+13545+258+1=260624
PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZDARZENIA A
P(A)=\frac{n_A}{N}=\frac{260624}{13983816}=0,0186\approx 0,02
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo jakiejkolwiek wygranej równa się około 0,02, czyli ok. 2%.