Zadanie 3
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W = (1, 4). Najmniejsza wartośc funkcji w przedziale <-2, 2> wynosi -5.
a) Przedstaw wzór funkcji f w postaci iloczynowej.
b) Rozwiąż nierówność f(x) < 0.
W=(1,4)=(p,q)
f(x)=a(x-p)^2+q
p=1, q=4
y=a(x-1)^2+4 postać kanoniczna (wierzchołkowa)
i mamy punkt, który należy do wykresu funkcji P=(-2, -5)=(x,y)
x=1, y=-5
-5=a[1-(-2)]^2+4
-5=a(1+2)^2+4
-5=9a+4
-9=9a
a=\frac{-9}{9}
a = -1
y=-1(x-1)^2+4
przekształcam równanie z postaci kanonicznej do postaci ogólnej:
y=-(x^2-2x+1)+4
y=-x^2+2x-1+4
y=-x^2+2x+3 <-- postać ogólna
a=-1 , b=2, c=3
\Delta=2^2-4*(-1)*3=16
\sqrt\Delta=4
x_1=\frac{-2-4}{-2}=3
x_2=\frac{-2+4}{-2}=-1
y=a(x-x_1)(x-x_2) wzór
y=-(x-3)(x+1) postać iloczynowa funkcji kwadratowej <-- rozwiązanie
wykres
-----------
b)
f(x)<0
-x^2+2x+3<0
miejsca zerowe
x_1=-1 , x_2=3 obliczone
Zaznaczam miejsca zerowe na osi OX.
Szkicowanie wykresu rozpoczynam z prawej strony, pod osią x, gdyż a<0.
Oba pierwiastki nieparzystokrotne, więc linia przechodzi na II stronę osi x.
x\in (-\infty;-1)\cup(3;+\infty)
wykres