podstawa czworościanu
H^2+R^2=a^2
R=\frac{2}{3}h; h =\frac{a\sqrt3}{2}
R=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}
-----
H - wysokość czworościanu
H^2+R^2=a^2
H^2+(\frac{a\sqrt3}{3})^2=a^2
H^2+\frac{3a^2}{9}=a^2 |*9
9H^2+3a^2=9a^2
9H^2=6a^2
H=\sqrt{\frac{6a^2}{9}}=\frac{a\sqrt6}{3}
-----
P_{przekroju}=\frac{1}{2}h\cdotH ; h=\frac{a\sqrt3}{2}
\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt3}{2}\cdot \frac{a\sqrt6}{3}=36\sqrt2
\frac{a^2\sqrt{18}}{12}=36\sqrt2
\frac{3a^2\sqrt2}{12}=36\sqrt2
\frac{a^2}{4}=36\sqrt2 |*4
a^2\sqrt2=144\sqrt2 |:\sqrt2
a=\sqrt{144}=12[cm] długość krawędzi czworościanu (wszystkie są równe)
-----
H=\frac{a\sqrt6}{3}=\frac{12\sqrt6}{3}=4\sqrt6[cm] wysokość czworościanu
-----
P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{12^2\sqrt3}{4}=\frac{144\sqrt3}{4}=36\sqrt3[cm^2]
V=\frac{1}{3}P_p\cdot H
V=\frac{1}{3}\cdot 36\sqrt3\cdot 4\sqrt6=48\sqrt{18}=48\sqrt{9\cdot2}=48\cdot3\sqrt2=144\sqrt2[cm^3]