Rozwiąż równanie:
(\sqrt{4-\sqrt{15}})^x+(\sqrt{4+\sqrt{15}})^x=8
Zauważmy
\frac{1}{4+\sqrt{15}}=\frac{4-\sqrt{15}}{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}=\frac{4-\sqrt{15}}{16-15}=4-\sqrt{15}
powyższe wyrażenie wstawiamy do równania
[\sqrt{\frac{1}{4+\sqrt{15}}}]^x+[\sqrt{4+\sqrt{15}}]^x=8
Niech
t=[\sqrt{4+\sqrt{15}}]^x
\frac{1}{t}+t=8/*t
1+t^2=8t
t^2-8t+1=0
\Delta=64-4=60
\sqrt{\Delta}=\sqrt{4*15}=2\sqrt{15}
t_1=\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}=\frac{1}{4+\sqrt{15}}
t_2=4+\sqrt{15}
4-\sqrt{15}=[\sqrt{4+\sqrt{15}}]^x
\frac{1}{4+\sqrt{15}}=[\sqrt{4+\sqrt{15}}]^x
x=-2
lub
4+\sqrt{15}=[\sqrt{4+\sqrt{15}}]^x
x=2
Odp.
x=-2 lub x=2