a)
\frac{1}{2}x^2-2(x+1)<0 \ |*2 , a=1/2 >0 ramiona paraboli skierowane w górę
x^2-4(x+1)<0
x^2-4x-4<0
a=1, b=-4, c=-4
\Delta=b^2-4ac=16-4*1*(-4)=16+16=32
\sqrt{32}=\sqrt{16*2}=4\sqrt2
x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{4-4\sqrt2}{2*1}=\frac{\not4^2(1-\sqrt2)}{\not2^1}=2(1-\sqrt2)
x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{4+4\sqrt2}{2*1}=\frac{\not4^2(1+\sqrt2)}{\not2^1}=2(1+\sqrt2)
x_1=2(1-\sqrt2) , x_2=2(1+\sqrt2) miejsca zerowe
x\in (\ 2(1-\sqrt2)\cup 2(1+\sqrt2)\ )
b)
2(3x-1)+x(x+3)\geq8x
6x-2+x^2+3x-8x\geq0
x^2+x-2\geq0 …x=2x-x
a=1>0 ramiona paraboli w górę
x^2+2x-x-2\geq0
x(x+2)-(x+2)\geq0
(x+2)(x-1)\geq0
x_1=-2 , x_2=1 miejsca zerowe
x\in (-\infty;-2\rangle\cup \langle1;+\infty)
c)
(1-x)^2+2x\geq 4-(x+2)^2
1-2x+x^2+2x\geq4-(x^2+4x+4)
1-2x+x^2+2x\geq4-x^2-4x-4
1+x^2-4+x^2+4x+4\geq0
2x^2+4x+1\geq0 , a=2>0 ramiona paraboli skierowane w górę
a=2, b=4, c=1
\Delta=b^2-4ac=16-4*2*1=8
\sqrt\Delta=\sqrt8=\sqrt{4*2}=2\sqrt2
x_1=\frac{-4-2\sqrt2}{2*2}=\frac{-\not2^1(2+\sqrt2)}{\not2^2*2}=\frac{-2-\sqrt2}{2}
x_2=\frac{-4+2\sqrt2}{2*2}=\frac{\not2^1(\sqrt2-2)}{\not2^1*2}=\frac{\sqrt2-2}{2}
x_1=\frac{-2-\sqrt2}{2} , x_2=\frac{\sqrt2-2}{2} m. zerowe
x\in (-\infty; \frac{-2-\sqrt2}{2}\rangle\cup \langle \frac{\sqrt2-2}{2};+\infty)