I warunek
Trójmian ma 2 pierwiastki, gdy wyróżnik trójmianu (\Delta) jest większy od zera.
f(x)=mx^2+(m-2)x-2 założenie m\ne0
\Delta>0
b^2-4ac>0
(m-2)^2-4m\cdot (-2)>0
m^2-4m+4+8m>0
m^2+4m+4>0
(m+2)^2>0
m_0=-2 pierwiastek dwukrotny
czyli
m < -2 , m > -2
(1)
II warunek
Dwie liczby mają takie same znaki gdy ich iloczyn jest dodatni.
x_1\cdot x_2>0
\frac{c}{a}>0
\frac{-2}{m}>0 \Leftrightarrow m<0 (2)
III warunek
x_1+x_2 \leq x_1x_2
\frac{-b}{a}\leq\frac{c}{a}
\frac{-(m-2)}{m}\leq \frac{-2}{m} , zał. m\ne 0
\frac{-m+2}{m}+\frac{2}{m}\leq 0
\frac{-m+2+2}{m}\leq 0
-(m-4)m\leq 0 , a<0 ramiona paraboli w dół
m=0 , m=4 miejsca zerowe
m < 0 i m \geq 4 (3)
Część wspólna warunków (1), (2), (3)
m < -2 , m > -2 \ , \ m<0 , m\geq 4
to
m\in (-\infty;-2)\cup (-2;0)