97x^{10}-x+1=0
Z teorii (patrz twierdzenie o pierwiastkach wymiernych)
Jeżeli wielomian W(x) ma współczynniki całkowite, to pierwiastki wymierne są wśród liczb postaci \frac{p}{q}.
p - dzielniki ostatniego współczynnika (a_0=1) (wyrazu wolnego)
q - dzielniki pierwszego współczynnika (a_n=97)
Dzielniki 1: -1,1
Dzielniki 97: -1, 1, -97, 97
\frac{p}{q}: \ -1, \ 1, -\frac{1}{97}, \ \frac{1}{97}
W(-1)=97 \cdot (-1)^{10}-(-1)+1=97+1+1=99 > 0
W(1)=97 \cdot 1 -1+1=97> 0
W(-\frac{1}{97})=97 \cdot (-\frac{1}{97})^{10}+\frac{1}{97}+1=\not97^1 \cdot (\frac{1}{97})^9 \cdot \frac{1}{\not97^1}-\frac{1}{97}+1\frac{1}{97}= (\frac{1}{97})^9+1\frac{1}{97}>0
W(\frac{1}{97})=97 \cdot (\frac{1}{97})^{10}-\frac{1}{97}+1=\not97^1 \cdot (\frac{1}{97})^9 \cdot \frac{1}{\not97^1}-\frac{1}{97}+1= (\frac{1}{97})^9+\frac{96}{97}> 0
Żadna z liczb \frac{p}{q} nie zeruje wielomianu, zatem wielomian nie ma pierwiastków wymiernych.