20 - 12 = 8 mężczyzn
{20\choose 5}=\frac{20!}{15!\cdot 5!}=\frac{15!\cdot 16\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20}{15!\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=15504 wszystkich możliwości wyboru
a)
W grupie są co najwyżej 2 kobiety
czyli
0, 1, lub 2 kobiety
{{12\choose 0}\cdot {8\choose 5}+{12\choose 1}\cdot {8\choose 4}+{12\choose 2}\cdot {8\choose 3}=1\cdot \frac{8!}{5!\cdot 3!}+12\cdot \frac{8!}{4!\cdot 4!}+\frac{12!}{10!\cdot 2!}\cdot \frac{8!}{5!\cdot 3!}=}
{=\frac{5!\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{5!\cdot 3\cdot 2}+12\cdot \frac{4!\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{4!\cdot 4\cdot 3\cdot 2}+\frac{10!\cdot 11\cdot 12}{10!\cdot 2}\cdot \frac{5!\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{5!\cdot 3\cdot 2}=56+840+66\cdot 56=4592}
możliwości wyboru
b)
A - “w grupie jest co najmniej 1 kobieta” … czyli 1, 2, 3, 4, lub 5 kobiet
zdarzenie przeciwne
A’ - “w grupie nie ma żadnej kobiety”
{5\choose 0}\cdot {8\choose 5}=1\cdot \frac{8!}{5!\cdot 3!}=\frac{5!\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{5!\cdot 3\cdot 2}=56
|\Omega|-56=15504-56=15448 możliwości wyboru
c)
W grupie są conajmniej 2 i nie więcej niż 4 kobiety, czyli 2, 3 lub 4 kobiety.
{{12\choose 2}\cdot {8\choose 3}+{12\choose 3}\cdot {8\choose 2}+{12\choose 4}\cdot {8\choose 1}=\frac{12!}{10!\cdot 2!}\cdot \frac{8!}{5!\cdot 3!}+\frac{12!}{9!\cdot 3!}\cdot \frac{8!}{6!\cdot 2!}+\frac{12!}{8!\cdot 4!}\cdot 8=}
{=\frac{10!\cdot 11\cdot 12}{10!\cdot 2}\cdot \frac{5!\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{5!\cdot 3\cdot 2}+\frac{9!\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{9!\cdot 3\cdot 2}\cdot \frac{6!\cdot 7\cdot 8}{6!\cdot 2}+\frac{8!\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{8!\cdot 4\cdot 3\cdot 2}\cdot 8=}
=66\cdot 56+220\cdot 28+945\cdot 8=13816 możliwości wyboru
d)
W grupie jest co najwyżej 1 kobieta
czyli 0 lub 1
{{5\choose 0}\cdot {8\choose 5}+{5\choose 1}\cdot {8\choose 4}=1\cdot \frac{81}{5!\cdot 3!}+5\cdot \frac{8!}{4!\cdot 4!}=\frac{5!\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{5!\cdot 3\cdot 2}+5\cdot \frac{4!\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{4!\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=56+5\cdot 70=406}
możliwości wyboru