Zadanie 1
a)
3x^3-x^2+7x+3=0
dzielniki wyrazu wolnego 3: {-1, 1, -3, 3}
W(-1)=3*(-1)-1-7+3=-11+3=-8\ne0
W(1)=3*1-1+7+3=12\ne0
W(-3)=3*(-27)-9-21+3=-108\ne0
W(3)=3*27-9+21+3=96\ne0
Brak pierwiastków wymiernych.
b)
x^3+125=0
x^3+5^3=0
(x+5)(x^2-5a+25)=0
x+5=0\vee x^2-5x+25=0
x=-5
lub
x^2-5x+25=0
a=1, b=-5, c=25
\Delta=b^2-4ac=25-4*1*25=-75<0 brak pierwiastków
x=-5
wzór skróconego mnożenia
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
c)
(x-2)(x+6)(3x^2+7x-1)=0
x-2=0\vee x+6=0 \vee 3x^2+7x-1=0
x=2\vee x=-6
lub
3x^2+7x-1=
a=3, b=7, c=-1
\Delta=b^2-4ac=49-4*3*(-1)=49+12=61
x_1=\frac{-7-\sqrt{61}}{2*3}=\frac{-7-\sqrt{61}}{6}
x_2=\frac{-7+\sqrt{61}}{2*3}=\frac{\sqrt{61}-7}{6}
---------
x_1=\frac{-7-\sqrt{61}}{6} , x_2=\frac{\sqrt{61}-7}{6} , x_3=2 , x_4=6
d)
4x^3-4x^2+8=0
4(x^3-x^2+2)=0
x^3-x^2+2=0
dzielniki wyrazu wolnego 2: {-1, 1,-2, 2}
W(-1)=(-1)^3-(-1)^2+2=-1-1+2=0
-1 jest pierwiastkiem wielomianu, zatem wielomian jest podzielny przez dwumian (x+1)
(x^3-x^2+2):(x+1)=x^2-2x+1
(x+1)(x^2-2x+1)=0
x+1=0 \vee x^2-2x+1=0
x=-1
lub
x^2-2x+1=0
\Delta=b^2-4ac=4-4*1*2=-4<0 brak pierwiastków
x=-1 1 rozwiązanie
Dodatkowe obliczenia:
(x^3-x^2+2):(x+1)=x^2-2x+1
-x^3-x^2
-----------------------
…-2x^2+0
…2x^2+2x
-------------------------------
…2x+2
…-2x-2
-------------------------------
…0