n^3 - n = n ( n^2 - 1) = n ( n - 1 ) (n + 1) = (n - 1)n(n+1)
Jest to iloczyn kolejnych 3 liczb naturalnych. Żeby liczba była podzielna przez 6 musi być podzielna przez 3 i 2. Wśród trójek kolejnych liczb zawsze znajdą się takie liczby, które spełniają ten warunek. Wystarczy przeanalizować takie iloczyny
1 * 2 * 3 = 6
2 * 3 * 4 = 24
3 * 4 * 5 = 60
4 * 5 * 6 = 120
Innym (trochę trudniejszym) sposobem jest wykorzystanie indukcji matematycznej. Sprawdzamy poprawność wzoru dla n = 1 i 2
dla n = 1
n^3 - n = 0
dla n = 2
n^3 - n = 6
Teraz wystarczy dowieść, że dla każdej liczby n = n + 1 n^3 - n jest podzielne przez 6. Możemy podstawić n + 1 pod n
dla n = 1
(n+1)^3 - (n+1) = ... = (n^3 - n) + 3n(n+1)
Pierwszy element (n^3 - n) jest z zgodnie z indukcją podzielny przez 6. Wystarczy dowieść, że 3n(n+1) jest podzielne przez 6. No i jest, ponieważ n albo (n + 1) jest parzyste (podzielne przez 2).