Wyprowadzenie wzoru na wysokośc podstawy (trójkąta równobocznego)
Z twierdzenia Pitagorasa:
h^2+(\frac{1}{2}a)^2=a^2
h^2+\frac{a^2}{4}=a^2 |*4
4h^2+a^2=4a^2
4h^2=3a^2 |:4
h^2=\frac{3a^2}{4}
h=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}
h=\frac{a\sqrt3}{2}
Teraz można obliczyć pole podstawy
P_p=\frac{1}{2}a\cdot h
P_p=\frac{a}{2}\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{4}
WYSOKOŚĆ (H) CZWOROŚCIANU
z twierdzenia Pitagorasa:
H^2+(\frac{2}{3}h)^2=a^2
(\frac{2}{3}h)^2=(\frac{2}{3}*\frac{a\sqrt3}{2})^2=(\frac{a\sqrt3}{3})^2=\frac{3a^2}{9}=\frac{a^2}{3}
H^2+\frac{a^2}{3}=a^2 |*3
3H^2+a^2=3a^2
H^2=\frac{2a^2}{3}
H=\sqrt{\frac{2}{3}}a=\frac{\sqrt2 \cdot \sqrt3}{3}a=\frac{\sqrt6}{3}a wysokość czworościanu
OBJĘTOŚĆ
V=\frac{1}{3} P_p\cdot H
V=\frac{1}{3} * \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \frac{\sqrt6}{3}a=\frac{a^3\sqrt{18}}{36}
V=\frac{a^3*3\sqrt2}{36}
V = \frac{a^3\sqrt2}{12} prawidłowa odpowiedź
http://pl.wikipedia.org/wiki/Czworościan_foremny