Rozpatrzmy trójkąt prostokątny o wierzchołkach 90st, 30st, 60st. Oznaczmy boki tego trójkąta jako :a bok naprzeciwko kąta 60st, b- kąt naprzeciwko kąta 30st i c- przeciwprostokatna.
Wiemy, że bok kwadratu dużego wynosi 6cm, stąd możemy zapisać
a+b=6
b=6-a
teraz obliczmy tangens kąta 30 st.
\tan(30^0)=\frac{\sqrt{3}}{3}
\tan(30^0)=\frac{6-a}{a}
Stąd \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{6-a}{a}
Zatem po przekształceniach mamy:
a(3+\sqrt{3})=18
a=\frac{18*(3-\sqrt{3})}{6}
Czyli:
a=9-3\sqrt{3}
Wracamy bo boku b
b=6-(9-3\sqrt{3})=6-9+3\sqrt{3}=-3+3\sqrt{3}
Bok c obliczamy z tw. Pitagorasa a^2+b^2=c^2
(9-3\sqrt{3})^2+(-3+3\sqrt{3})^2=c^2
c^2=145-72\sqrt{3}
bok c trójkąta prostokątnego jest także bokiem kwadratu wpisanego.
Pole kwadratu obliczamy P=c^2=c^2=145-72\sqrt{3}
Mam nadzieję że nigdzie się nie pomyliłam
pozdrawiam