http://pracadomowa24.pl/zadanie/39-zbadac-monotonicznosc-ciagu/#30
n\in \mathbb N^+
an=n^2+2n
a_1=1+2=3
a_2=2^2+2*2=8
a_3=3^2+2*3=15
a_n+1-a_n=a_2-a_1=8-3=5 ciąg jest rosnący
Każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego.
II sposób
Korzystam z definicji monotoniczności ciągu.
a_n=n^2+2n
a_{n+1}=(n+1)^2+2(n+1)=n^2+2n+1+2n+2=n^2+4n+3
a_{n+1}-a_n=n^2+4n+3-(n^2+2n)=n^2+4n+3-n^2-2n=2n+3
n\in N^+ n jest liczbą naturalną
2n+3>0
Otrzymane wyrażenie dla każdego n naturalnego jest większe od zera.
Odpowiedź: Ciąg jest rosnący.
zastosowano wzór skróconego mnożenia:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 kwadrat sumy