twierdzenie Bezout
W(a)=0 <=> W(x):(x-a)=P(x), gdzie P(x) jest pewnym wielomianem.
Jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a, to liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Wielomian W(x) = x^3 + bx^2 + cx + 24 jest podzielny przez wielomian U(x) = x - 4 ,
W(x):(x-a)=U(x)
a = 4
i
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-a równa się W(a).
W(a) = R
a = -2
W(x)=x^3 + bx^2 + cx + 24
rozwiązanie:
W(4) = 0
W(-2)=36
-------
4^3 + b*4^2 + c*4 + 24=0
(-2)^3 + b*(-2)^2 + (-2)*c + 24=36
-------
64+16b+4c+24=0
-8+4b-2c+24=36
-------
16b+4c=-88 |:4
4b-2c=36-16
-------
4b+c=-22
4b-2c=20 |*(-1)
-------
rozwiazanie metodą przeciwnych współczynników
4b+c=-22
-4b+2c=-20
-------
3c=-42 |:3
c = - 14
4b+c=-22
4b-14=-22 |+14
4b=-8 |:4
b = -2
W(x)=x^3-2x^2-14x+24 tak wygląda wielomian
obliczam pierwiastki
x^3-2x^2-14x+24=0
a = 4
schematem Hornera W(x) : (x-a) = P(x)
| 1 |-2 |-14|24 |
| 1 | 2 | 6 | 0 | współczynniki P(x), o 1 stopień niższego niż W(x)
I współczynnik (tutaj 1) przepisujemy
4 * 1-2=2
4 * 2-14= -6
4 * (-6)+24=0
P(x)=x^2+2x-6
rozwiązanie równania kwadratowego:
x^2+2x-6=0
ax^2+bx+c=0
a=1 , b=2 , c=-6
\Delta=b^2-4ac=4-4*(-6)=28
\sqrt\Delta=\sqrt{28}=2\sqrt7
x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-2-2\sqrt7}{2}=-1-\sqrt7
x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-2+2\sqrt7}{2}=-1+\sqrt7=\sqrt7-1
Odpowiedź: Wielomian W(x) ma 3 pierwiastki: x_1=-1-\sqrt7 , x_2=\sqrt7-1 , x_3=4.